Ángulos en la circunferencia
Primeras cartas náuticas escaneadas
ÁNGULO
Antes de nada, medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad.
Así como la regla me permite medir en una dirección, el ángulo me permite medir una porción indefinida de plano limitada por dos semirrectas (llamadas lados) que parten de un mismo punto (llamado vértice).
Los ángulos se nombran con letras griegas y se pueden medir con diferentes unidades: grados sexagesimales, radianes y grados centesimales. Así, podemos decir que una vuelta completa son 360º, 2ℼ rad o 400ᵍ, aunque de aquí en adelante nos vamos a referir únicamente a grados sexagesimales.
Algunas reglas que debemos conocer son:
- Ángulos opuestos por el vértice son iguales.
- Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el mismo vértice y por lados tienen semirrectas opuestas.
- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales porque tienen igual amplitud.
- Los ángulos de un triángulo suman 180º.
- Para demostrarlo, trazamos una paralela a b por B, obteniendo otro ángulo igual a ɑ.
- Aplicando el concepto de ángulo opuesto por el vértice, vemos que el ángulo formado por los lados a y b' es equivalente a ɣ.
- Como sabemos que una vuelta completa son 360º, media vuelta serán180º.
- ɑ+β+ɣ=180º.
Así como la regla me permite medir en una dirección, el ángulo me permite medir una porción indefinida de plano limitada por dos semirrectas (llamadas lados) que parten de un mismo punto (llamado vértice).
- Ángulos opuestos por el vértice son iguales.
- Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el mismo vértice y por lados tienen semirrectas opuestas.
- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales porque tienen igual amplitud.
- Los ángulos de un triángulo suman 180º.
- Para demostrarlo, trazamos una paralela a b por B, obteniendo otro ángulo igual a ɑ.
- Aplicando el concepto de ángulo opuesto por el vértice, vemos que el ángulo formado por los lados a y b' es equivalente a ɣ.
- Como sabemos que una vuelta completa son 360º, media vuelta serán180º.
- ɑ+β+ɣ=180º.
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia (c) es el lugar geométrico de los puntos que equidistan (están a la misma distancia) de otro llamado centro (O).
Llamamos radio (r) a la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
- Ángulo central: es aquel que tiene su vértice en el centro (O) de la circunferencia. Tiene por lados dos radios y su valor es una fracción de 360º.
- Ángulo inscrito: es aquel cuyo vértice se sitúa en un punto cualquiera de la circunferencia. Sus lados son dos cuerdas (segmento que une dos puntos de la circunferencia).
- Ángulo semi-inscrito: es aquel cuyo vértice se sitúa en un punto cualquiera de la circunferencia. Uno de sus lados es una cuerda y el otro es una tangente a la circunferencia por el vértice. Es un caso límite del ángulo inscrito.
- El valor del ángulo inscrito (y del semi-inscrito) es siempre la mitad del ángulo central correspondiente.
- Para demostrarlo, partiremos de un ángulo inscrito que tenga por lado un diámetro de la circunferencia.
- El triángulo AOV es un triángulo isósceles ya que dos de sus lados son radios de la circunferencia, por lo que el ángulo en A será igual al ángulo en V.
- Por otro lado, sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180º, es decir, 2α+δ=180º.
- También sabemos que β+δ= 180º.
- Por lo tanto, el ángulo central β = 2α.
- Para demostrar esta relación en un caso genérico, bastará con reducirlo al caso anterior.
- Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice dentro de la circunferencia y distinto al centro. Su valor es la semisuma de los dos ángulos centrales correspondientes.
- Ángulo exterior: es aquel cuyo vértice se sitúa fuera de la circunferencia, sus lados son secantes y su valor es la semidiferencia de los ángulos centrales correspondientes.
Ángulo circunscrito: es aquel cuyo vértice está fuera de la circunferencia y sus lados son dos tangentes a la misma. Es un caso límite del ángulo exterior, por lo que su valor es también la semidiferencia de los ángulos centrales.
ARCO CAPAZ
Es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se observa un segmento bajo un mismo ángulo.
- Es una aplicación del ángulo semi-inscrito.
- Si desplazamos el vértice P por la circunferencia, llegará un momento donde P coincida con el punto A y el lado AP se convierta en una tangente a la circunferencia.
- El ángulo α tendrá por lados PB y la recta tangente a la circunferencia.
- Para trazar el arco capaz, partiremos, por lo tanto, del ángulo semiinscrito:
- Dado el segmento AB, trazamos una recta r que forme un ángulo α con dicho segmento.
- Sabemos que A es el punto de tangencia de la recta r con la circunferencia, por lo que el centro del arco buscado pasará por la perpendicular a r por A (segmento AO).
- Como A y B son vértices del arco capaz, el centro también pasará por la mediatriz del segmento AB.
- Cualquier punto situado en el arco hallado mirará al segmento AB desde el mismo ángulo ɑ.
+ ¿Para qué sirve todo esto?
El concepto de arco capaz es muy útil. Nos puede servir para situar a espectadores con el mismo ángulo de visión en un teatro o para orientarse sin la ayuda de un GPS.
Imagina que vas navegando por el mar y observas tres faros en la costa. ¿Serías capaz de situar tu posición en el mapa conociendo únicamente los dos ángulos de visión ɑ y β bajo los que observas los tres faros?
Aquí la solución:
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