Transformaciones

"Asombrarse es la esencia de la vida". Escher

Transformación

Una transformación es una operación geométrica que nos permite convertir una figura en una nueva, de modo que se establecen correspondencias entre las figuras y sus elementos.

Las transformaciones pueden ser de dos tipos:

• Homografía: el elemento transformado (figura homóloga) conserva su naturaleza. 
• Ej. Un punto se transforma en un punto.
• Correlación: el elemento transformado (figura correlativa) no conserva su naturaleza.
• Ej. Un punto se transforma en una recta.

Y siempre necesitamos conocer:

• La definición de la transformada: elementos e invariantes (aquello que se conserva)
• Se denomina semejante si conserva la forma.
• Se denomina conforme si conserva los ángulos.
• Sus propiedades: forma, medidas, ángulos, elementos dobles (aquellos que no varían).
• Sus aplicaciones.

Algunos ejemplos de transformaciones son:

• Movimientos en el plano
• Traslaciones
• Giros
• Simetrías
• Axial
• Central
• Homologías
• Afinidades
• Homotecias: figuras semejantes. Thales.
• Inversiones. Pitágoras

Vamos a profundizar un poco en estos dos últimos grupos.

Homotecia (Thales)

La homotecia es una transformación de tipo homográfica en la que existe un centro y un invariante métrico en forma de cociente, de ahí su relación con Thales. Se aplica en problemas de áreas semejantes. Por ejemplo, determina un cuadrado cuyos vértices estén apoyados en el triángulo dado. También se utiliza para algunos problemas de tangencias como, por ejemplo, para obtener las rectas tangentes a dos circunferencias dadas:

Inversión (Pitágoras)

La inversión es una transformación de tipo homográfica en la que existe un centro y un invariante métrico en forma de producto, de ahí su relación con Pitágoras. Se apoya en el concepto de potencia y se aplica en problemas de tangencias. Por ejemplo, para determinar las circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia por un punto P.