Potencia aplicada al Problema Fundamental de Tangencias

 

Silla Paimio, Alvar Aalto.

POTENCIA

La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c es el producto que resulta de multiplicar la menor por la mayor distancia* del punto a la circunferencia. La potencia W es un invariante, equivalente al segmento de tangencia al cuadrado.

* Los segmentos se expresan o bien con letras minúsculas, o bien con una raya sobre los puntos que delimitan dicho segmento. Para simplificar, en este blog todos los segmentos aparecen representados sin raya.

W =  PA · PB = PA' · PB' = PT² = cte

Demostración: Dadas dos rectas que cortan a una circunferencia, no importa por dónde pase la recta ya que los triángulos que se forman van a ser semejantes. Si tomamos, por ejemplo, los triángulos PBA' y PB'A, ambos comparten el ángulo ɑ y β (los ángulos β están contenidos en el mismo arco capaz del segmento AA'). Podemos, de este modo, generalizar el concepto de potencia a dos segmentos cualquiera que pasando por un punto cortan a la circunferencia.

PB / PA' =  PB' / PA

PA · PB = PA' · PB'

Como ya hemos comentado, la potencia W de P respecto a c es equivalente al segmento de tangencia PT al cuadrado. Una recta es tangente a una circunferencia cuando la corta en un punto (en realidad son dos puntos coincidentes). Sabemos además que la tangente es perpendicular al radio, por lo que el punto de tangencia estará en la intersección de la circunferencia con el arco capaz de 90º del segmento PO.

Un caso límite será si el punto P se encuentra en el infinito. En este caso, el arco capaz de 90º del segmento PO se convierte en una recta perpendicular al segmento PO.

La potencia W de un punto P respecto de una circunferencia c también puede venir dada en función de d y R, siendo d la distancia del punto P al centro de la circunferencia y R el radio de la misma. Esta definición también se puede obtener aplicando Pitágoras al triángulo rectángulo PTO. 

W = PA · PB =  (d-r)·(d+r) = d² - r²

PFT (Problema Fundamental de Tangencias)

El PFT es el problema de determinación de una circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta o a otra circunferencia. 

Para resolver el PFT, conviene conocer el concepto de haz elíptico de circunferencias. Dado el segmento AB (haz elíptico de circunferencias) y un punto P exterior, existe una circunferencia que pasa por todos los puntos de tangencia T del haz elíptico de circunferencias.  

Volviendo a nuestro problema, si obtenemos la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia T del haz elíptico AB, podremos obtener los puntos de tangencia T1 y T2 buscados.

1. Por lo tanto, nos serviremos de una circunferencia auxiliar que pase por A y por B y buscaremos el punto de tangencia desde P.

2. Una vez hallado T, podremos obtener la circunferencia que pasa por todos los puntos de tangencia del haz elíptico de circunferencias, y obtener los puntos T1 y T2 buscados.

3. Los centros de las dos circunferencias que pasan por AB y son tangentes a la recta se encontrarán en la intersección de la mediatriz de AB y las rectas perpendiculares  a la recta r por los puntos T1 y T2.

OTROS PROBLEMAS

Una gran variedad de problemas son el mismo. Por ejemplo, el problema de determinación de una circunferencia tangente a dos circunferencias con mismo radio y a una recta se puede reducir mediante dilataciones al problema anterior.

En el caso en que los radios de las circunferencias fueran distintos, habría que recurrir a otras transformaciones como las inversiones, como veremos más adelante.

De ahora en adelante, para resolver cualquier enunciado de tangencias, trataremos de reducirlo al PFT. Por ejemplo, dadas dos rectas y un punto P, determina una circunferencia que siendo tangente a ambas rectas pase por P.

Para reducir este problema al PFT, buscaremos el simétrico de P respecto de la bisectriz de las rectas.

Ya tenemos nuestro PFT con dos condiciones de paso y una tangencia (podemos tomar r o s).

+ ¿Para qué sirve todo esto?

El concepto de potencia nos sirve para resolver multitud de problemas de tangencia, algo que diseñadores e ingenieros utilizan en su día a día para obtener, por ejemplo, las curvaturas de una bicicleta o de una silla.